Entendiendo la Esfera de Riemann
¿Qué es la Esfera de Riemann?
La esfera de Riemann es una representación geométrica del plano complejo extendido: el plano complejo más un punto en el infinito. Permite visualizar los números complejos en la superficie de una esfera mediante proyección estereográfica.
Nombrada en honor al matemático alemán Bernhard Riemann, esta construcción nos permite pensar en el infinito complejo como un solo punto, lo cual es una herramienta poderosa en el análisis complejo.
Proyección Estereográfica
La proyección estereográfica mapea puntos desde una esfera hacia un plano. Para la esfera de Riemann:
- El plano complejo se coloca tangente al polo sur de una esfera unitaria
- Cada punto en la esfera (excepto el polo norte) se proyecta en el plano
- El polo norte representa el punto en el infinito
Esto crea una correspondencia uno a uno entre el plano complejo extendido y la esfera.
Formulación Matemática
Para un número complejo z = x + iy, el punto correspondiente en la esfera de Riemann tiene coordenadas:
Y = 2y / (1 + |z|²)
Z = (|z|² - 1) / (|z|² + 1)
De forma inversa, para un punto (X,Y,Z) en la esfera (excepto el polo norte), el número complejo correspondiente es:
Aplicaciones
La esfera de Riemann tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física:
- Análisis complejo: estudiar el comportamiento de funciones cerca del infinito
- Mapeo conforme: preservación de ángulos en transformaciones geométricas
- Transformaciones de Möbius: que aparecen como rotaciones de la esfera
- Mecánica cuántica: representación de estados de espín de partículas
- Ingeniería eléctrica: adaptación de impedancia en gráficos de Smith